實數是有理數和無理數的總稱。數學上,實數定義爲與數軸上的點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數,實數和數軸上的點一一對應。
實數是有理數和無理數的總稱,通常用黑正體字母R表示。其中無理數就是無限不循環小數,有理數就包括整數和分數。
數學上,實數直觀地定義爲和數軸上的點一一對應的數。
本來實數僅稱作數,後來引入了虛數概念,原本的數稱作“實數”——意義是“實在的數”。
所有實數的集合則可稱爲實數系或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱爲實數系。在保序同構意義下它是惟一的,常用R表示。由於R是定義了算數運算的運算系統,故有實數系這個名稱。
實數可以用來測量連續的量。理論上,任何實數都可以用無限小數的方式表示,小數點的右邊是一個無窮的數列(可以是循環的,也可以是非循環的)。在實際運用中,實數經常被近似成一個有限小數(保留小數點後 n 位,n爲正整數)。在計算機領域,由於計算機只能存儲有限的小數位數,實數經常用浮點數來表示。
實數的運算定理
1、加法:
(1)同號兩數相加,取原來的符號,並把它們的絕對值相加;
(2)異號兩數相加,取絕對值大的加數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值。可使用加法交換律、結合律。
2、減法:減去一個數等於加上這個數的相反數。
3、乘法:
(1)兩數相乘,同號取正,異號取負,並把絕對值相乘。
(2)n個實數相乘,有一個因數爲0,積就爲0;若n個非0的實數相乘,積的符號由負因數的個數決定,當負因數有偶數個時,積爲正;當負因數爲奇數個時,積爲負。
(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。
4、除法:
(1)兩數相除,同號得正,異號得負,並把絕對值相除。
(2)除以一個數等於乘以這個數的倒數。
(3)0除以任何數都等於0,0不能做被除數。
5、乘方與開方:乘方與開方互爲逆運算。
6、實數的運算順序:乘方、開方爲三級運算,乘、除爲二級運算,加、減是一級運算,如果沒有括號,在同一級運算中要從左到右依次運算,不同級的運算,先算進階的運算再算低級的運算,有括號的先算括號裏的運算。無論何種運算,都要注意先定符號後運算。
實數中的幾個概念:
1、相反數:只有符號不同的兩個數叫做互爲相反數。(1)實數a的相反數是-a;(2)a和b互爲相反數a+b=0。
2、倒數:(1)實數a(a≠0)的倒數是1/a;(2)a和b 互爲倒數;(3)注意0沒有倒數。
3、絕對值:
(1)一個數a 的絕對值有以下三種情況:
(2)實數的絕對值是一個非負數,從數軸上看,一個實數的絕對值,就是數軸上表示這個數的點到原點的距離。
(3)去掉絕對值符號(化簡)必須要對絕對值符號裏面的實數進行數性(正、負)確認,再去掉絕對值符號。
4、n次方根
(1)平方根,算術平方根:設a≥0,稱叫a的平方根,叫a的算術平方根。
(2)正數的平方根有兩個,它們互爲相反數;0的平方根是0;負數沒有平方根。
(3)立方根:叫實數a的立方根。
(4)一個正數有一個正的立方根;0的立方根是0;一個負數有一個負的立方根。